특수 상대성 이론, 시간 지연과 길이 수축

1. 시간 지연

1) 고유 시간

사건의 시작과 끝이 같은 위치에서 일어난 것으로 보는 관찰자가 측정한 시간입니다.

2) 시간 지연

관측자가 본 운동하는 상대의 시간이 느리게 흐릅니다. 이때 고유 시간 보다 짧게 측정되는 시간은 없습니다. 따라서 $ T $는 $ T_{original) $보다 항상 길게 측정됩니다
$$ T=\gamma \times T_{original}(\gamma > 1) $$
양쪽 거울 사이를 빛이 왕복하는 주기를 이용하여 시간을 측정하는 빛시계를 내부 관찰자가 볼 경우, 빛의 속력은 $ c $고 빛은 수직으로 $ 2L $만큼의 거리를 운동합니다. 따라서 빛의 왕복 주기는 다음과 같습니다.
$$ T_{ori}=\frac{2L}{c} $$
만약 외부에 정지해 있는 관찰자가 빛 시계를 보면, 빛의 속력은 $ c $이고 빛이 비스듬하게 대각선으로 $ 2{L}' $만큼의 거리를 운동하게 됩니다. 따라서 빛의 왕복 주기는 다음과 같습니다.
$$ T=\frac{2{L}'}{c} $$
따라서 $ {L}'>L $이므로 $ T>T_{ori} $입니다.

2. 길이 수축

1) 고유 길이

고유 길이란 관찰자에 대하여 상대적으로 정지해 있는 물체의 길이입니다.

2) 길이 수축

움직이는 관찰자가 측정하는 두 물체 사이의 거리는 정지한 관찰자가 측정하는 거리보다 짧습니다. 따라서 $ L $은 $ L_{original) $보다 항상 짧게 측정됩니다
$$ L=\frac{L_{original}}{\gamma }(\gamma > 1) $$
또한 길이 수축은 물체의 속력이 클수록 크게 일어나며 운동 방향으로만 일어납니다.
정지한 관찰자가 측정한 우주선이 지구에서 화성까지 이동하는데 걸리는 시간은 $ \Delta t $이고 우주선이 이동한 거리는 다음과 같습니다.
$$ L_{ori}=v\Delta t $$
하지만 우주선 내부의 관찰자가 측정한 지구에서 화성까지 이동하는데 걸리는 시간은 $ \Delta t_{ori} $이고 우주선이 이동한 거리는 다음과 같습니다.
$$ L_{ori}=v\Delta t_{ori} $$
따라서 $ \Delta t>\Delta t_{ori} $이므로 $ L_{ori}>L $입니다. 그러므로 운동하는 관측자의 시간은 천천히 흐르므로 길이가 줄어듭니다.

3. 특수 상대성 이론의 적용

1) 뮤온이 지표면에서 관측되는 이유

① 예상

정지된 상태의 뮤온의 수명과 속력을 고려하면, 수십 킬로미터 상공에서 발생한 뮤온은 대략 0.5 km 이동 후에 소멸되어 지표에 도달할 수 없습니다.

② 결과

뮤온은 지표면에서 관측된다.

③ 분석

뮤온 입자가 생성될 때, 광속의 99%의 속도를 가집니다. 따라서 이동하는 뮤온의 관점에서 길이 수축으로 인해 뮤온과 지표면 사이의 길이가 짧아지고 지표면의 관측자의 입장에서는 시간 지연으로 인해 뮤온의 실질적인 수명이 늘어납니다.